Question

（本題滿分12分）
設二次函數，對任意實數，有恒成立；數列滿足.
（1）求函數的解析式；
（2）試寫出一個區間，使得當時，且數列是遞增數列，并說明理由；
（3）已知，是否存在非零整數，使得對任意，都有
 恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）由恒成立等價于恒成立 ……1分
從而得：，化簡得，從而得，
所以，                                            ………3分
（2）解：若數列是遞增數列，則即：
 ………5分又當時，，
所以有且，所以數列是遞增數列。       …………7分
注：本題的區間也可以是、、、………，等無窮多個.
（3）由（2）知，從而；
，
即；                                        ………8分
令，則有且；
從而有，可得，所以數列是為首項，公比為的等比數列，         
從而得，即，
所以 ，                          ……………………10分
所以，所以，
所以，
.………………………11分
即，所以，恒成立
（1）  當為奇數時，即恒成立，當且僅當時，有最小值為。
（2）  當為偶數時，即恒成立，當且僅當時，有最大值為。
所以，對任意，有。又非零整數，…………………12分

略