Question

已知直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A(-1,0)、B(0,8)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線l和拋物線C的方程.

Answer 1

解析:本題的運(yùn)算量較大,如果直接用普通方程來求解,其計(jì)算量會(huì)更大,同學(xué)們不妨一試.

解:設(shè)A、B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)分別為A₁、B₁,由對(duì)稱性知∠A₁OB₁=∠AOB=90°,由拋物線的參數(shù)方程可設(shè)A₁(2pt₁²,2pt₁)(t₁＜0),B₁(2pt₂²,2pt₂),?

又OA₁=OA=1,OB₁=OB=8,則有兩式相除得=64.?

又∵k_OA1=,k_OB1=,OA₁⊥OB₁,?

∴k _OA1·k_OB1=-1,即t₁·t₂=-1.

則可將t₂=-代入上式,得t₁⁶=,t₁=-.?

故有2p=.?

∴A₁(,-2).∴k_AA1=,k_l=.?

故所求直線l的方程為y=2x,拋物線C的方程為y²=x.