Question

已知圓（x-3）²+（y-4）²=16，直線l₁：kx-y-k=0．
（1）若l₁與圓交于兩個不同點P，Q，求實數k的取值范圍；
（2）若PQ的中點為M，A（1，0），且l₁與l₂：x+2y+4=0的交點為N，求證：|AM|•|AN|為定值．

Answer 1

分析：（1）由圓心（3，4）到已知直線的距離小于半徑4，解不等式求得實數k的取值范圍．
（2） 先求得N的坐標，利用一元二次方程根與系數的關系和中點公式，求得中點M 的坐標，化簡|AM|•|AN|的解析式得到定值．

解答：解：（1）圓心（3，4）到已知直線的距離小于半徑4，由點到直線的距
離公式得3k²+4k＞0，∴k＜-

4

3

，或k＞0．
（2）證明：由

x+2y+4=0 kx-y-k=0

 得：N(

2k-4

2k+1

，-

5k

2k+1

)，
再由

y=kx-k (x-3)2+(y-4)2=16

 得（1+k²）x²-（2k²+8k+6）x+k²+8k+9=0，
∴x1+x2=

2k2+8k+6

1+k2

，∴M(

k2+4k+3

1+k2

，

4k2+2k

1+k2

)，
∴|AM||AN|=

( k2+4k+3 1+k2 -1)2+( 4k2+2k 1+k2 )2

•

( 2k-4 2k+1 -1)2+(- 5k 2k+1 )2

=

2(2k+1)

1+k2

1+k2

5 1+k2

2k+1

=10  （為定值）．

點評：本題考查直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式，求兩直線的交點坐標，一元二次方程根與系數的關系，
中點公式的應用，化簡|AM||AN|的解析式是解題的難點．