Question

（本小題滿分14分）如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D為AC的中點(diǎn)。[
（1）求證：AB₁//面BDC₁；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值；
（3）若在線段AB₁上存在點(diǎn)P，使得CP面BDC₁，試求AA₁的長及點(diǎn)P的位置。

Answer 1

（1）見解析（2）（3）點(diǎn)P位置是在線段AB₁上且

（1）連接B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，
則O為B₁C的中點(diǎn)，
D為AC中點(diǎn)，
，
又平面BDC₁，平面BDC₁
             BDC₁    4分
（2）平面ABC，BCAC，AA₁//CC­₁，
面ABC，
則BC平面AC₁，CC₁AC
如圖建系，則


設(shè)平面C₁DB的法向量為 z
則
又平面BDC的法向量為
二面角C₁—BD—C的余弦值：
   9分
（3）設(shè)，
則

又面BDC₁，

解得
所以AA₁=2，點(diǎn)P位置是在線段AB₁上且 14分