Question

已知梯形中，，，、分別是、上的點，，．沿將梯形翻折，使平面⊥平面(如圖)．是的中點．

（1）當時，求證：⊥ ；
（2）當變化時，求三棱錐體積的最大值．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）當時，最大值為.

試題分析：本題主要考查空間兩條直線的位置關系、直線與平面垂直等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.第一問，先作輔助線，由面面垂直的性質得平面，所以垂直于面內的線，又可以由已知證出四邊形為正方形，所以，再利用線面垂直的判定證明平面，從而得；第二問，由已知，利用線面垂直的判定證明面，結合第一問的結論平面，得，設出三棱錐的高，列出體積公式，通過配方法求最大值.
試題解析：（1）證明：作，交與，連結，，　　　      1分
∵平面平面，交線，平面，
∴平面，又平面，故．    3分
∵，，．
∴四邊形為正方形，故．                   5分
又、平面，且，故平面．
又平面，故．                        6分
（2）解：∵，平面平面，交線，平面．
∴面．又由（1）平面，故，  7分
∴四邊形是矩形，，故以、、、為頂點的三
棱錐的高．                         9分
又．                10分
∴三棱錐的體積
（）
當時，最大值為   12分