Question

已知函數，函數是函數的導函數.
（1）若，求的單調減區間；
（2）若對任意，且，都有，求實數的取值范圍；
（3）在第（2）問求出的實數的范圍內，若存在一個與有關的負數，使得對任意時恒成立，求的最小值及相應的值.

Answer 1

（1）單調減區間為（2）（3）當時，的最小值為

（1）當時，， ……………1分
由解得 ………………2分
當時函數的單調減區間為；…………3分
（2）易知
依題意知

……………………………………………………5分
因為，所以，即實數的取值范圍是 ；…………6分
（3）解法一：易知，.
顯然，由（2）知拋物線的對稱軸…………7分
①當即時，且
令解得………………8分
此時取較大的根，即 ……………9分
，  …………………10分
②當即時，且
令解得………………11分
此時取較小的根，即…………12分
， 當且僅當時取等號……13分
由于，所以當時，取得最小值 ………………14分
解法二：對任意時，“恒成立”等價于“且”
由（2）可知實數的取值范圍是
故的圖象是開口向上，對稱軸的拋物線…7分

①當時，在區間上單調遞增，
∴，
要使最小，只需要
………8分
若即時，無解
若即時，………………9分

解得（舍去） 或
故（當且僅當時取等號）…………10分
②當時，在區間上單調遞減，在遞增， 
則，…………………11分
要使最小，則即
 ………………………………………………………12分
解得（舍去）
或（當且僅當時取等號）…13分
綜上所述，當時，的最小值為.………………………………14分