Question

已知兩個等差數列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為A_n和B_n，且

An

Bn

-

24

n+3

=7，則使得

an

bn

為整數的正整數n一共有

5

個．

Answer 1

分析：利用等差數列前n項和與中間項之間的關系解題

解答：解：由

An

Bn

-

24

n+3

=7，得

An

Bn

=

7n+45

n+3

．
∵數列{a_n}和{b_n}是等差數列，
由等差數列的前n項和及等差中項，可得

an

bn

=

1 2 (a1+a2n-1)

1 2 (b1+b2n-1)

=

1 2 (2n-1)(a1+a2n-1)

1 2 (2n-1)(b1+b2n-1)

=

A2n-1

B2n-1

=

7(2n-1)+45

(2n-1)+3

=7+

12

n+1

（n∈N^*）．
故n=1，2，3，5，11時，

an

bn

為整數．
使得

an

bn

為整數的正整數n一共有5個．
故答案為：5．

點評：本題主要考查等差數列的性質、等差中項的綜合應用以及分離常數法，數的整除性是傳統問題的進一步深化，對教學研究有很好的啟示作用．已知兩個等差數列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為A_n和B_n，則有如下關系

an

bn

=

A2n-1

B2n-1

．此題是中檔題．