Question

甲、乙兩人用農藥治蟲，由于計算錯誤，在A、B兩個噴霧器中分別配制成12%和6%的藥水各10千克，實際要求兩個噴霧器中的農藥的濃度是一樣的，現在只有兩個容量為1千克的藥瓶，他們從A、B兩個噴霧器中分別取1千克的藥水，將A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，這樣操作進行了n次后，A噴霧器中藥水的濃度為，B噴霧器中藥水的濃度為．

（1）證明：是一個常數；

（2）求與的關系式；

（3）求的表達式．

 

Answer 1

【答案】

（1）利用農藥的重量始終不變得到其和為定值；（2） ；（3）．

【解析】

試題分析：（1）開始時，A中含有10=1.2千克的農藥，B中含有10=0.6千克的農藥，n次操作后，A中含有千克的農藥，B中含有千克的農藥，它們的和應與開始時農藥的重量和相等，從而

（常數）．          4分

（2）第n次操作后，A中10千克的藥水中農藥的重量具有關系式：由（1）知，代入化簡得  ①            8分

（3）令，利用待定系數法可求出λ=—9，所以，可知數列是以為首項，為公比的等比數列．

由①，

由等比數列的通項公式知：，

所以．                       12分

考點：本題考查了數列的運用

點評：數列作為特殊的函數，在中學數學中占有相當重要的地位，涉及的實際應用問題廣泛而多樣．如銀行信貸、增長率、養老保險等，運用數列解決實際問題時應在認真審題的基礎上，弄清楚問題的哪一部分是數列問題，是哪種數列的問題