Question

（本小題滿分12分）
設(shè)定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象為，是上的任意一點，為坐標原點，設(shè)向量=，，，當實數(shù)λ滿足x="λ" x₁+(1－λ) x₂時，記向量=λ+(1－λ)．定義“函數(shù)在區(qū)間上可在標準下線性近似”是指 “恒成立”，其中是一個確定的正數(shù)．
（1）求證：三點共線;
（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間[0，1]上可在標準下線性近似，求的取值范圍；
（3）求證：函數(shù)在區(qū)間上可在標準下線性近似.
（參考數(shù)據(jù)：=2.718，）

Answer 1

（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，所以B，N，A三點共線。
（2）k的取值范圍是．（3）見解析。

試題分析：（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，所以B，N，A三點共線。  ………… 2分
（2）由x="λ" x₁+(1－λ) x₂與向量=λ+(1－λ)，得N與M的橫坐標相同．…4分
對于 [0，1]上的函數(shù)y=x²，A(0，0)，B(1，1)， 則，故；
所以k的取值范圍是．                     ……………………………………………  6分
（3）對于上的函數(shù)，A()，B()，    
則直線AB的方程，        ………………………………………………8分
令，其中，于是， …10分
列表如下：

x	em	(em，em+1－em)	em+1－em	(em+1－em，em+1)	em+1
		+	0	－
	0	增		減	0

則，且在處取得最大值，
又0.123，從而命題成立． …………………………………12分
點評：本題是在新定義下考查向量共線知識以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，是對知識的綜合考查，屬于難題．理解定義是關(guān)鍵．