Question

設函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當x≠0時，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）試問：在-2≤x≤2時，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．
（3）解關于x的不等式

1

2

f(bx)-f(x)＞

1

2

f(b2x)-f(b)．

Answer 1

分析：（1）設x=y=0可求得f（0）=0．設y=-x，化簡可得f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數．
（2）由xf（x）＜0，可得當x＞0時，f（x）＜0．任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，根據 f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁），可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，f（x）為減函數．由此可得函數在[-2，2]上的最大值和最小值．
（3）由題設可知

1

2

f(bx)+f(b)＞

1

2

f(b2x)+f(x)，可化為f（bx+b+b）＞f（b²x+x+x）．再根據f（x）在R上為減函數，可得（b²-b+2）x＞2b，再根據b²-b+2＞0，求得不等式的解集．

解答：解：（1）由于函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），設x=y=0可求得f（0）=0．
設y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），所以f（x）為奇函數．
（2）由xf（x）＜0，可得當x＞0時，f（x）＜0．
任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，根據 f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁），可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
所以f（x）為減函數．
故在-2≤x≤2時，函數最大值為f（-2），最小值為f（2），且f（-2）=-2f（1）=4，f（2）=f（1）=-4，
所以函數最大值為4，函數最小值為-4．
（3）由題設可知

1

2

f(bx)+f(b)＞

1

2

f(b2x)+f(x)，即

1

2

f(bx)+

1

2

f(b)+

1

2

f(b)＞

1

2

f(b2x)+

1

2

f(x)+

1

2

f(x)，
可化為

1

2

f(bx+b+b)＞

1

2

f(b2x+x+x)，即f（bx+b+b）＞f（b²x+x+x）．
∵f（x）在R上為減函數，∴bx+b+b＜b²x+x+x，（b²-b+2）x＞2b，又 b²-b+2＞0，∴x＞

2b

(b2-b+2)

，
故不等式的解集為{x|x＞

2b

(b2-b+2)

}．

點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判斷，利用函數的單調性解不等式，屬于中檔題．