Question

已知x，y滿足線性約束條件

x-y+5≥0 x+y-5≥0 x≤3

求：
（1）Z₁=2x+4y的最大值和最小值．
（2）Z₂=

y

x+1

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部，再將目標函數Z₁=2x+4y對應的直線進行平移，并觀察y軸上的截距變化，可得當l分別經過B、C時目標函數z達到最小值和最大值，由此可得答案．
（2）設P（x，y）、Q（0，-1），可得Z₂=

y

x+1

表示直線P、Q連線的斜率，運動點P得到PQ斜率的最大、最小值，即可算出Z₂的最大值和最小值．

解答：解：（1）作出不等式組

x-y+5≥0 x+y-5≥0 x≤3

表示的平面區域，
得到如圖的△ABC及其內部，其中A（0，5），B（3，2），C（3，8）
設Z₁=F（x，y）=2x+4y，將直線l：Z₁=2x+4y進行平移，
觀察y軸上的截距變化，可得
當l經過B時，目標函數z達到最小值；當l經過C時，目標函數z達到最小值．
∴Z₁的最小值為F（3，2）=14；Z₁的最大值為F（3，8）=38．
（2）設P（x，y）為區域內的動點，可得
Z₂=

y

x+1

表示直線P、Q連線的斜率，其中Q（-1，0）
運動點P，可得當P與A點重合時，Z₂=

5

0+1

=5，達到最大值；
當P與B點重合時，Z₂=

2

3+1

=

1

2

，達到最小值，
∴Z₂=

y

x+1

的最大值為5，最小值為

1

2

．

點評：本題給出二元一次不等式組，求目標函數的最大值和最小值，著重考查了直線的斜率公式、二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于基礎題．