Question

已知數列滿足，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：對于一切正整數，有.

Answer 1

(1)  (2)見解析

(1)由題意可知,進而可得,
令,,然后討論b=1和,
當b=1時，是等差數列.其通項公式易求.
當時，要構造等比數列,，說明數列為等比數列,易求其通項公式，進而求出C_n.
(2) （ⅰ）當時，成立；
當時,,
,
然后根據等比數列前n項和公式進行研究即可.
解：（1），
   令
    ------------2分
（ⅰ）當時， ------- 4分
（ⅱ）當時，,
數列為等比數列，所以，
--------- 8分
（2）證明: （ⅰ）當時，--------------10分
（ⅱ）當時，



      
即;
所以：對于一切正整數，有.----------------15分