Question

（本小題滿分12分）已知函數f(x)＝ax＋(x≠0，常數a∈R).

(1)討論函數f(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)若函數f(x)在x∈[3，＋∞)上為增函數，求a的取值范圍.

Answer 1

解析：(1)定義域(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱.

當a＝0時，f(x)＝，滿足對定義域上任意x，f(－x)＝f(x)，∴a＝0時，f(x)是偶函數；

當a≠0時，f(1)＝a＋1，f(－1)＝1－a，

若f(x)為偶函數，則a＋1＝1－a，a＝0矛盾；

若f(x)為奇函數，

則1－a＝－(a＋1),1＝－1矛盾，∴當a≠0時，f(x)是非奇非偶函數.

(2)任取x1>x2≥3，f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－

＝a(x1－x2)＋＝(x1－x2)(a－).

∵x1－x2>0，f(x)在[3，＋∞)上為增函數，

∴a>，即a>＋在[3，＋∞)上恒成立.

∵＋<，

∴a≥.