Question

定義[x]：表示不超過實數x的最大整數，如[π]=3，，[-1.09]=-2，并定義{x}=x-[x]．如{3.14}=0.14，{-1.01}=0.99，有以下命題：
①函數y={x}的定義域為R，值域為[0，1]；
②方程{x}=

1

2

有無數多個解；
③函數y={x}為周期函數；
④關于實數x的方程ln²x-[lnx]-2=0的解有3個．
其中你認為正確的所有命題的序號為

②③④

．

Answer 1

分析：要使解析式有意義，得出函數{x}的定義域為R，由周期函數的定義證明此函數為周期函數，故只需求出一個周期的上的值域，即為整個函數的值域，把方程解的個數問題轉化為函數圖象的交點問題．

解答：解：∵函數{x}的定義域為R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，∴③是正確的，
當0≤x＜1時，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數{x}的值域為[0，1），∴①錯誤，
當x=

1

2

時，{x}=

1

2

，又∵函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，∴x=

1

2

+k時（k∈Z），{x}=

1

2

∴②是正確的，
對于④令lnx=t，則方程的解的個數等價于[t]=t²-2，在同一個坐標系中分別作出函數y=[t]，和y=t²-2的圖象，
它們的交點個數就是原方程解的個數，由圖可知交點為A、B、C，即個數為3，∴④是正確的．
故答案為②③④．

點評：此題是自定義一個函數，求函數的性質，找出準確的切入點是解決問題的關鍵，屬基礎題．