Question

 已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M，N為側棱PC上的兩個三等分點，如圖所示．
（1）求證：AN∥平面MBD；
（2）求異面直線AN與PD所成角的余弦值；
（3）求二面角M-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于O，連接OM，可得OM∥AN，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz，寫出各點的坐標，

AN

=(1，2，2)，

PD

=(0，6，-3)，AN與PD的夾角就是異面直線AN與PD所成角，然后求出其余弦值．
（3）側棱PA⊥底面ABCD，可得平面BCD的一個法向量為

AP

=(0，0，3)，設平面MBD的法向量為m=（x，y，z），兩個法向量的夾角就是二面角M-BD-C，然后再求出其余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：連接AC交BD于O，連接OM，
∵底面ABCD為矩形，
∴O為AC中點，（1分）
∵M、N為側棱PC的三等分點，
∴CM=MN，
∴OM∥AN，（3分）
∵OM?平面MBD，AN不屬于平面MBCD，
∴AN∥平面MBD．（4分）

（Ⅱ）如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz，
則A（0，0，0），B（3，0，0），C（3，6，0），D（0，6，0），P（0，0，3），M（2，4，1），N（1，2，2），
∵

AN

=(1，2，2)，

PD

=(0，6，-3)，（5分）
∴cos＜

AN

，

PD

＞=

AN • PD

| AN || PD |

=

0+12-6

3×3 5

=

2 5

15

，（7分）
∴異面直線AN與PD所成角的余弦值為

2 5

15

．（8分）

（Ⅲ）∵側棱PA⊥底面ABCD，
∴平面BCD的一個法向量為

AP

=(0，0，3)，（9分）
設平面MBD的法向量為m=（x，y，z），
∵

BD

=(-3，6，0)，

BM

=(-1，4，1)，并且m⊥

BD

，m⊥

BM

，
∴

-3x+6y=0 -x+4y+z=0

，
令y=1得x=2，z=-2，
∴平面MBD的一個法向量為m=（2，1，-2）．（11分）
cos＜

AP

，m＞=

AP •m

| AP ||m|

=-

2

3

（13分）
由圖可知二面角M-BD-C的大小是銳角，
∴二面角M-BD-C大小的余弦值為

2

3

．（14分）

點評：此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面的夾角問題，此題建立直角坐標系比較簡單，萬一找不到面面角，用向量法求解也是可以的，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，同學們要課下要多練習．