Question

直線l₁過（1，0）點，且l₁關于直線y=x對稱直線為l₂，已知點（n∈N⁺）在l₂上，a₁=1，當n≥2時，a_n+1a_n-1=a_na_n-1+a_n²．
（Ⅰ）求l₂的方程；
（Ⅱ）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）設l₂的方程為：y=kx+b，
又l₁，l₂關于直線y=x對稱，l₁過點（1，0），∴l₂過點（0，1），∴b=1．
又∵在直線l₂上，取n=1，2得：，，∴．
∵a_n+1a_n-1=a_na_n-1+a_n²，∴（n∈N，n≥2），
∴，∴l₂的方程為y=x+1．
（Ⅱ）由，可知是首項為，公差為1的等差數列．
∵在直線l₂上，∴．∴，
∴
分析：（Ⅰ）設l₂的方程為：y=kx+b，，由l₁，l₂關于直線y=x對稱，及l₁過點（1，0）可得l₂過點（0，1），可求b
再由在直線l₂上，可得，，．及可求k
（Ⅱ）由，可知是首項為，公差為1的等差數列．從而可得，利用疊乘法可求
點評：本題主要考查了利用構造法求解數列的通項公式，數列的疊乘求解數列的通項公式，疊加與疊乘法的求解中要注意所寫的式子的個數的判斷是解題中的易錯點