Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，S_n為前n項(xiàng)和，滿足a₃，2a₅，a₁₂ 成等差數(shù)列，S₁₀=60．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）試求所有正整數(shù)m，使

am+12+2

am

為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，先求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）利用數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式對(duì)

am+12+2

am

進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，再由

am+12+2

am

為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)進(jìn)行分析求解，利用列舉法能求出所有正整數(shù)m．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公差為d，
則a3+a12=a1+2d+a 1+11d=2a₁+13d，（2分）
2a₅=2（a₁+4d）=2a₁+8d，
∵a₃，2a₅，a₁₂ 成等差數(shù)列，
∴a₃+a₁₂=2×2a₅，
∴2a₁+13d=2（2a₁+8d），
整理，得2a₁+3d=0，（4分）
∵S₁₀=60，∴S10=10a1+

10×9

2

d=10a₁+45d=60，
解得a₁=-3，d=2，
∴a_n=2n-5，
Sn=n×(-3)+

n(n-1)

2

×2=n2-4n．（7分）
（2）∵a_n=2n-5，
∴

am+12

a   m

=

(2m-3)2+2

2m-5

=

[(2m-5)+2]2+2

2m-5

=

(2m-5)2+4(2m-5)+6

2m-5

=2m-5+4+

6

2m-5

=2m-1+

6

2m-5

，（10分）
要使

am+12+2

am

為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，則

6

2m-5

為整數(shù)．
m=1，2m-1+

6

2m-5

=-5是第二項(xiàng)，
m=2，2m-1+

6

2m-5

=-3=2×1-5是第一項(xiàng)，
m=3，2m-1+

6

2m-5

=11=2×8-5是第八項(xiàng)
m=4，2m-1+

6

2m-5

=2×7-5是第七項(xiàng)
所有的正整數(shù)m為1，2，3，4．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差中項(xiàng)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，注意列舉法的合理運(yùn)用．