Question

已知數(shù)列中，，前和

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；  （Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對(duì)條件式進(jìn)行變形，得到遞推關(guān)系得證；（Ⅱ）由條件求出首項(xiàng)和公差即得；（Ⅲ）利用裂項(xiàng)相消法求出，再考察的上確界，可得的最小值.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122009261010913219/SYS201312200928164909194064_DA.files/image006.png">，所以，

所以，

整理，得，所以，

所以，

所以，所以，

所以，數(shù)列為等差數(shù)列。

（Ⅱ），，所以，即為公差，

所以；

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122009261010913219/SYS201312200928164909194064_DA.files/image018.png">，

所以，

所以對(duì)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，所以要使對(duì)一切正整數(shù)都成立，只要，所以存在實(shí)數(shù)使得對(duì)一切正整數(shù)都成立，的最小值為.

考點(diǎn)：等差數(shù)列、數(shù)列的求和、不等式、裂項(xiàng)相消法.