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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
在直角坐標平面內，已知點A（3，0），B（0，3），C（cosθ，sinθ），其中θ∈(
π
2
，
3π
2
)．
（Ⅰ）若|
AC
|=|
BC
|，求角θ的弧度數；
（Ⅱ）若
AC
•
BC
=-1，求
2sin2θ-sin2θ
1+tanθ
的值．
分析：（I）首先表示出向量AC和向量BC，然后根據|
AC
|=|
BC
|列出式子并進行化簡，求得tanθ=1，再根據定義域確定θ的值；
（II）首先根據
AC
•
BC
=-1?（cosθ-3）cosθ+sinθ（sinθ-3）=-1，并化簡得出sinθ+cosθ=
2
3
，然后平方得出2sinθcosθ=-
5
9
＜0，進而求出sinθ-cosθ=
14
3
，將
2sin2θ-sin2θ
1+tanθ
化簡成
2sinθcosθ(sinθ-cosθ)
sinθ+cosθ
把相應的數值代入即可．
解答：解：（Ⅰ）依題意，
AC
=(cosθ-3，sinθ)，
BC
=(cosθ，sinθ-3)；
由 |
AC
|=|
BC
|得：（cosθ-3）2+sin2θ=cos2θ+（sinθ-3）2，（3分）
解得tanθ=1，又θ∈(
π
2
，
3π
2
)，得θ=
5π
4
．                       （6分）
（Ⅱ）由
AC
•
BC
=-1
得：（cosθ-3）cosθ+sinθ（sinθ-3）=-1，
化簡得sinθ+cosθ=
2
3
，∴2sinθcosθ=-
5
9
＜0，（8分）
又θ∈(
π
2
，
3π
2
)，∴sinθ＞0，cosθ＜0，
∴sinθ-cosθ=
1-2sinθcosθ
=
1-(-
5
9
)2
=
14
3
．                     （10分）
∴
2sin2θ-sin2θ
1+tanθ
=
2sinθcosθ(sinθ-cosθ)
sinθ+cosθ
=-
5
9
×
14
3
×
3
2
=-
5
14
18
．     （12分）
點評：本題考查了三角函數的化簡求值以及向量的有關知識，尤其要注意根據角的范圍確定函數值的大小，屬于基礎題．
練習冊系列答案
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P1P2
+
P3P4
+
P5P6
+…+
Pk-1Pk
的坐標（用k表示）為
(
k
2
，
2k+1-2
3
)
(
k
2
，
2k+1-2
3
)
．

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P1P2
+
P3P4
+
P5P6
+…+
Pk-1Pk
的縱坐標（用k表示）為
2k+1-2
3
2k+1-2
3
．

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-
1
2
-
1
2
．

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（2012•江西模擬）在直角坐標平面內，已知函數f（x）=loga（x+2）+3（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點P，若角θ的終邊過點P，則cos2θ+sin2θ的值等于（　　）

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