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已知向量m=(2x-2，2-
3
y)，n=(
3
y+2，x+1)，且m∥n，
OM
=(x，y)（O為坐標原點）．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點F（1，0）的直線l與曲線C相 交于A、B兩點，并且曲線C存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAPB的面積；若不存在，說明理由．
分析：（1）利用向量共線的條件，建立方程，化簡可得點M的軌跡C的方程；
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），設l：x=my+1，代入橢圓方程，消元可得（2m2+3）y2+4my-4=0，利用韋達定理表示，假設存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形，其充要條件為
OP
=
OA
+
OB
，從而可得P的坐標，代入橢圓方程，利用A，B在橢圓上，可求m的值，進而可求平行四邊形OAPB的面積，即可得到結論．
解答：解：（1）∵向量
m
=(2x-2，2-
3
y)，
n
=(
3
y+2，x+1)，且
m
∥
n

∴（2x-2）（x+1）-（2-
3
y）(
3
y+2)=0
化簡可得，點M的軌跡C的方程為
x2
3
+
y2
2
=1；
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），
由題意知l的斜率一定不為0，故不妨設l：x=my+1，代入橢圓方程，消元可得（2m2+3）y2+4my-4=0
∴y1+y2=-
4m
2m2+3
，y1y2=-
4
2m2+3

假設存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形，其充要條件為
OP
=
OA
+
OB

∴P（x1+x2，y1+y2）
∴
(x1+x2)2
3
+
(y1+y2)2
2
=1
∴2
x
2
1
+3
y
2
1
+2
x
2
2
+3
y
2
2
+4x1x2+6y1y2=6
∵A，B在橢圓上，∴2
x
2
1
+3
y
2
1
=6，2
x
2
2
+3
y
2
2
，=6
∴2x1x2+3y1y2=-3
∵y1+y2=-
4m
2m2+3
，y1y2=-
4
2m2+3

∴m=±
2
2

當m=
2
2
時，y1=-
2
，y2=
2
2
，∴x1=0，x2=
3
2

∴
OA
=(0，-
2
)，
OB
=(
3
2
，
2
2
)
∴cos∠AOB=
OA
•
OB
|
OA
||
OB
|
=-
2
11

∴sin∠AOB=
3
11

∴平行四邊形OAPB的面積為|
OA
||
OB
|sin∠AOB=
3
2
2

當m=-
2
2
時，同理可得平行四邊形OAPB的面積為
3
2
2

故存在存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形．
點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，確定直線的方程是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=（1，1），
q
=（1，0），＜
n
，
p
＞=
π
2
 且
m
•
n
=-1；若△ABC的內角A，B，C依次成等差數列，且A≤B≤C；
（1）若關于x的方程sin（2x+
π
3
 ）=
m
2
 在[0，B]上有相異實根，求實數m的取值范圍；
（2）若向量
p
=（cosA，2cos2
C
2
），試求|
n
+
p
|的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•青島一模）已知向量
m
=(
3
sin2x+t，cosx)，
n
=(1，2cosx)，設函數f(x)=
m
•
n
．
（Ⅰ）若cos(2x-
π
3
)=
1
2
，且
m
⊥
n
，求實數t的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若f（A）=3，b=1，且△ABC的面積為
3
2
，實數t=1，求邊長a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數y=f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（2）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量m=(2x-2，2-
3
y)，n=(
3
y+2，x+1)，且m∥n，
OM
=(x，y)（O為坐標原點）．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點F（1，0）的直線l與曲線C相 交于A、B兩點，并且曲線C存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAPB的面積；若不存在，說明理由．

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