Question

已知冪函數f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈Z）滿足f（2）＜f（3）．
（1）求實數k的值，并寫出相應的函數f（x）的解析式；
（2）對于（1）中的函數f（x），試判斷是否存在正數m，使函數g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x，在區間[0，1]上的最大值為5．
若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）對于冪函數f（x）=x^{（2-k）（1+k）}滿足f（2）＜f（3），代入結合k∈Z可求k的值
（2）由（1）可得函數g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x=-mx²+（2m-1）x+1，由m＞0，因此拋物線開口向上，對稱軸x=

2m-1

2m

＜1，若函數在區間[0，1]上的最大值為5，
則

1- 1 2m ＞0 g(1- 1 2m )=5

或

1- 1 2m ≤0 g(0)=5

解方程可求m

解答：解：（1）對于冪函數f（x）=x^{（2-k）（1+k）}滿足f（2）＜f（3），
因此（2-k）（1+k）＞0，
解得-1＜k＜2，
因為k∈Z，
所以k=0，或k=1，
當k=0時，f（x）=x²，
當k=1時，f（x）=x²，
綜上所述，k的值為0或1，f（x）=x²．
（2）函數g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x
=-mx²+（2m-1）x+1，
因為要求m＞0，因此拋物線開口向下，
對稱軸x=

2m-1

2m

，
當m＞0時，

2m-1

2m

=1-

1

2m

＜1，
因為在區間[0，1]上的最大值為5，
所以

1- 1 2m ＞0 g(1- 1 2m )=5

或

1- 1 2m ≤0 g(0)=5

解得m=

5

2

+

6

滿足題意．

點評：本題主要考查了冪函數的定義的應用，二次函數在閉區間上的最值的求解，注意分類討論思想在解題中的應用．