Question

（2012•鹽城三模）在某次水下考古活動中，需要潛水員潛入水深為30米的水底進行作業．其用氧量包含3個方面：
①下潛時，平均速度為v（米/單位時間），單位時間內用氧量為cv²（c為正常數）；
②在水底作業需5個單位時間，每個單位時間用氧量為0.4；
③返回水面時，平均速度為

v

2

（米/單位時間），單位時間用氧量為0.2．記該潛水員在此次考古活動中，總用氧量為y．
（1）將y表示為v的函數；
（2）設0＜v≤5，試確定下潛速度v，使總的用氧量最少．

Answer 1

分析：（1）分別計算潛入水底用時、用氧量；水底作業時用氧量；返回水面用時、用氧量，即可得到總用氧量的函數；
（2）利用基本不等式可得v=

2 5c

時取等號，再結合0＜v≤5，即可求得確定下潛速度v，使總的用氧量最少．

解答：解：（1）潛入水底用時

30

v

，用氧量為

30

v

×cv2=30cv，水底作業時用氧量為5×0.4=2，返回水面用時

60

v

，用氧量為

60

v

×0.2=

12

v

，
∴總用氧量y=30cv+2+

12

v

（v＞0）；
（2）y=30cv+2+

12

v

≥2+2

30cv× 12 v

=2+12

10c

，當且僅當30cv=

12

v

，即v=

2 5c

時取等號
當

2 5c

≤5，即c≥

2

125

時，v=

2 5c

時，y的最小值為2+12

10c

，
當

2 5c

＞5，即c＜

2

125

時，y′=

30cv2-12

v2

＜0，
∴函數在（0，5]上為減函數
∴v=5時，y的最小值為150c+

22

5

．
綜上，當c≥

2

125

時，下潛速度為v=

2 5c

時，用氧量最小值為2+12

10c

；
當c＜

2

125

時，下潛速度為5時，用氧量最小值為150c+

22

5

．

點評：本題考查函數模型的構建，考查基本不等式的運用，考查導數知識，考查分類討論的數學思想．