Question

已知數列的前n項和為Sn，并且滿足a1＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)．

(1)求{an}的通項公式；

(2)令Tn＝ Sn，是否存在正整數m，對一切正整數n，總有Tn≤Tm？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）an＝2n.（2）m＝8或m＝9

【解析】(1)令n＝1，由a1＝2及nan＋1＝Sn＋n(n＋1)，①得a2＝4，故a2－a1＝2，

當n≥2時，有(n－1)an＝Sn－1＋n(n－1)，②

①－②，得nan＋1－(n－1)an＝an＋2n.整理得an＋1－an＝2(n≥2)．

當n＝1時，a2－a1＝2，所以數列{an}是以2為首項，以2為公差的等差數列，

故an＝2＋(n－1)×2＝2n.

(2)由(1)得Sn＝n(n＋1)，所以Tn＝ (n2＋n)．

故Tn＋1＝ [(n＋1)2＋(n＋1)]，令

即即

解得8≤n≤9.故T1<T2<…<T8＝T9>T10>T11>…

故存在正整數m對一切正整數n，總有Tn≤Tm，

此時m＝8或m＝9