Question

如圖，圓錐的高PO＝4，底面半徑OB＝2，D為PO的中點，E為母線PB的中點，F為底面圓周上一點，滿足EF⊥DE.

(1)求異面直線EF與BD所成角的余弦值；

(2)求二面角OOFE的正弦值．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】(1)以O為原點，底面上過O點且垂直于OB的直線為x軸，OB所在的線為y軸，OP所在的線為z軸，建立空間直角坐標系，則

B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．

設F(x0，y0，0)(x0>0，y0>0)，且＋＝4，

則＝(x0，y0－1，－2)，＝(0，1，0)，

∵EF⊥DE，即⊥，則·＝y0－1＝0，故y0＝1.

∴F(，1，0)，＝(，0，－2)，＝(0，－2，2)．

設異面直線EF與BD所成角為α，則cosα＝.

(2)設平面ODF的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則

令x1＝1，得y1＝－，平面ODF的一個法向量為n1＝(1，－，0)．

設平面DEF的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，

同理可得平面DEF的一個法向量為n2＝.

設二面角ODFE的平面角為β，則|cosβ|＝＝.

∴sinβ＝.