Question

已知數列{a_n}滿足a₁=a，a₂=2，S_n是數列的前n項和，且（n∈N*）．
（1）求實數a的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）對于數列{b_n}，若存在常數M，使b_n＜M（n∈N*），且，則M叫做數列{b_n}的“上漸近值”．設（n∈N*），T_n為數列{t_n}的前n項和，求數列{T_n}的上漸近值．

Answer 1

解：（1）∵，∴．（2分）∴a=0．

（2）由（1）可知，．
∴2S_n-1=（n-1）a_n-1（n≥2）．
∴2（S_n-S_n-1）=na_n-（n-1）a_n-1，2a_n=na_n-（n-1）a_n-1，（n-2）a_n=（n-1）a_n-1．
∴．
因此，．
又a₁=0，∴數列{a_n}的通項公式a_n=2（n-1）（n∈N^*）．
（3）由（2）有，．于是，
=
=．
∴T_n=t₁+t₂+…+t_n
=
=．
又，
∴數列{T_n}的上漸近值是3．

分析：（1）由題設條件可知．由此能夠解得a=0．
（2）由題意可知，．所以2S_n-1=（n-1）a_n-1（n≥2）．由此可知數列{a_n}的通項公式a_n=2（n-1）（n∈N^*）．
（3）由題設條件知．由此可知T_n=t₁+t₂+…+t_n=．從而求得數列{T_n}的上漸近值是3．
點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要注意計算能力的培養．