Question

已知等比數列{a_n}的公比為q，S_n是{a_n}的前n項和．
（1）若a₁=1，q≥1，求

lim

n→∞

an

Sn

的值；
（2）若a₁=1，|q|＜1，S_n有無最值？并說明理由．
（3）設q=

1

t

，若首項a₁和t都是正整數，t滿足不等式：|t-63|＜62，且對于任意正整數n有9＜S_n＜12成立，問：這樣的數列{a_n}有幾個？

Answer 1

分析：（1）對q分類討論，求出前n項和，即可求得極限；
（2）對q分類討論，再對n分奇數、偶數討論，從而可求S_n的最值；
（3）根據t滿足不等式|t-63|＜62，可確定q的范圍，進而可得S_n隨著n的增大而增大，利用9＜S_n＜12，可求首項a₁，再分類討論，即可求解．

解答：解：（1）當q=1時，S_n=na₁，a_n=a₁，∴

lim

n→∞

an

Sn

=

lim

n→∞

a1

na1

=0
當q＞1時，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，

an

Sn

=

(1-q)qn-1

1-qn

，

lim

n→∞

an

Sn

=

q-1

q

∴

lim

n→∞

an

Sn

=

q-1

q

（q≥1）；
（2）若a₁=1，|q|＜1，則Sn=

1-qn

1-q

當0＜q＜1時，Sn=

1

1-q

-

qn

1-q

，所以S_n隨n的增大而增大，而S1≤Sn＜

1

1-q

，此時S_n有最小值1，但無最大值；
當-1＜q＜0時，①n=2k，k∈N₊時，Sn=

1

1-q

-

(q2)k

1-q

，所以S_n隨k的增大而增大，即n是偶數時，S2≤Sn＜

1

1-q

，即1+q≤Sn＜

1

1-q

；
②n=2k-1，k∈N₊時，Sn=

1

1-q

-

q2k-1

1-q

，所以S_n隨k的增大而減小，即n是奇數時，

1

1-q

＜Sn≤S1，即

1

1-q

＜Sn≤1；
由①②可得1+q≤S_n≤1，
∴S_n由最大值為1，最小值為1+q；
（3）∵|t-63|＜62，∴-62＜t-63＜62，∴1＜t＜125，∴q=

1

t

∈（0，1），
Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

a1(1-( 1 t )n)

1- 1 t

，且S_n隨n的增大而增大，∴（S_n）_min=S₁
∵對于任意正整數n有9＜S_n＜12成立，∴9＜S₁＜12，∴9＜a₁＜12，
∵首項a₁是正整數，∴a₁=10或a₁=11
a₁=10時，

lim n→∞ Sn≤12 1＜t＜125

，∴

10 1- 1 t ≤12 1＜t＜125

，∴

t≥6 1＜t＜125

，∴t∈[6，125），
∵t是正整數，∴124-6+1=119個；
a₁=11時，

lim n→∞ Sn≤12 1＜t＜125

，∴

11 1- 1 t ≤12 1＜t＜125

，∴

t≥12 1＜t＜125

，∴t∈[12，125），
∵t是正整數，∴124-12+1=113個；
∴共有119+113=332個．

點評：本題以等比數列為載體，考查數列的極限，考查等比數列的求和，考查數列的單調性，考查分類討論的數學思想，屬于難題．