Question

在公差不為0的等差數列{a_n}和等比數列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₈=b₃；
（1）求{a_n}的公差d和{b_n}的公比q；
（2）設c_n=a_n+b_n+2，求數列{c_n}的通項公式c_n及前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）、根據等差數列和等比數列性質以及題中的已知條件便可求出{a_n}的公差d和{b_n}的公比q；
（2）、根據（1）中求得的d與q的值分別求出等差數列{a_n}和等比數列{b_n}的通項公式，進而求得數列{c_n}的通項公式以及前n項和S_n的表達式．

解答：解：（1）由

a2=b2 a8=b3 a1=b1=1

得

1+d=q 1+7d=q2

（3分）
∴（1+d）²=1+7d，即，d²=5d，
又∵d≠0，
∴d=5，從而q=6（6分）
（2）∵a_n=a₁+（n-1）d=5n-4，b_n=b₁q^n-1=6^n-1
∴c_n=a_n+b_n=5n-4+6^n-1+2=6^n-1+5n-2（9分）
從而，Sn=

1-6n

1-6

+

n(3+5n-2)

2

=

6n

5

+

5

2

n2+

1

2

n-

1

5

（12分）

點評：本題結合等差數列和等比數列性質考查了公差d和公比q的求法，考查了學生的運算能力和對函數的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用．