Question

（本小題滿分12分）

已知直線l：y=x，圓C₁的圓心為（3，0），且經(jīng)過（4，1）點(diǎn).

（1）求圓C₁的方程；

（2）若圓C₂與圓C₁關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)A、B分別為圓C₁、C₂上任意一點(diǎn)，求|AB|的最小值；

（3）已知直線l上一點(diǎn)M在第一象限，兩質(zhì)點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位沿射線OM方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.問：當(dāng)t為何值時(shí)直線PQ與圓C₁相切？

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依題意，設(shè)圓的方程為　………1分

∵　圓經(jīng)過點(diǎn)

∴　　　…………2分

∴　圓的方程為　　…………3分

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）可知，圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為 

到直線的距離

　　　…………5分

∴　圓到直線的最短距離為　…………6分

∵　圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱

∴　．　　　　　…………7分

方法二：∵圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱.

∴ 圓圓心為（0，3），半徑為 ……………5分

∴ ||=

∴ =-2×= ………………7分

（Ⅲ）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，，

則　　　                  …………8分

由可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（），

則　　       　

解得，即　   　　

∴　　　　　　　　

∴　直線方程為，即　……………10分

若直線與圓相切，則到直線的距離

　　…………11分

解得　

答：當(dāng)時(shí)，直線與圓相切　　…………12分

考點(diǎn)：利用點(diǎn)的對(duì)稱求最值與圓的方程直線與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：求與圓上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的距離最值問題通常先求出到圓心的距離