Question

如圖，橢圓的中心為原點O，已知右準線l的方程為x=4，右焦點F到它的距離為2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設圓C經過點F，且被直線l截得的弦長為4，求使OC長最小時圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）假設橢圓的標準方程，利用右準線l的方程為x=4，右焦點F到它的距離為2，即可確定幾何量，從而可求橢圓的標準方程；
（2）計算圓的標準方程，利用圓C經過點F，且被直線l截得的弦長為4，可確定圓心坐標之間的關系，進而可求使OC長最小時圓C的方程．

解答：解：（1）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由題意可得

a2 c =4 a2 c -c=2

，…（2分）
解得a=2

2

，c=2．…（4分）
從而b²=a²-c²=4．
所以橢圓的標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1．…（6分）
（2）設圓C的方程為（x-m）²+（y-n）²=r²，r＞0．
由圓C經過點F（2，0），得（2-m）²+n²=r²，①…（7分）
由圓C被l截得的弦長為4，得|4-m|²+（

4

2

）²=r²，②…（8分）
聯立①②，消去r得：n²=16-4m．…（10分）
所以|OC|=

m2+n2

=

m2-4m+16

=

(m-2)2+12

．…（12分）
∵n²≥0，∴m≤4，
∴當m=2時，|OC|有最小值2

3

．…（14分）
此時n=±2

2

，r=2

2

，故所求圓C的方程為（x-2）²+（y±2

2

）²=8．…（16分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查圓的標準方程，考查圓中弦長問題，解題的關鍵是利用待定系數法，充分利用橢圓、圓的性質．