Question

在數(shù)列{a_n}中a1=1，an+1=an+

1

n2+n

，則a_n=

2n-1

n

．

Answer 1

分析：由a1=1，an+1=an+

1

n2+n

，分別令n=1，2，3，依次求出a₁=1，a₂=

3

2

，a₃=

5

3

，a₄=

7

4

，由此猜想a_n=

2n-1

n

．再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：∵a1=1，an+1=an+

1

n2+n

，
a₁=1=

2×1-1

1

=1，
a₂=1+

1

12+1

=1+

1

2

=

3

2

=

2×2-1

2

，
a₃=

3

2

+

1

22+2

=

5

3

=

2×3-1

3

，
a₄=

5

3

+

1

32+3

=

7

4

=

2×4-1

4

，
…
由此猜想a_n=

2n-1

n

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

2×1-1

1

=1，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k=

2k-1

k

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=

2k-1

k

+

1

k2+k

=

(2k-1)(k+1)+1

k(k+1)

=

2(k+1)-1

k+1

，也成立．
∴a_n=

2n-1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．本題也可由累加法求出通項(xiàng)公式