Question

設整數n≥4，P（a，b） 是平面直角坐標系xOy 中的點，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．
（1）記A_n 為滿足a-b=3 的點P 的個數，求A_n；
（2）記B_n 為滿足 是整數的點P 的個數，求B_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）A_n 為滿足a-b=3 的點P 的個數，顯然P（a，b）的坐標的差值，與A_n中元素個數有關，直接寫出A_n的表達式即可．
（2）設k為正整數，記f_n（k）為滿足題設條件以及a-b=3k的點P的個數，討論f_n（k）≥1的情形，推出f_n（k）=n-3k，根據k的范圍，說明n-1是3的倍數和余數，
然后求出B_n．
解答：解：（1）點P的坐標中，滿足條件：1≤b=a-3≤n-3，所以A_n=n-3；
（2）設k為正整數，記f_n（k）為滿足題設條件以及a-b=3k的點P的個數，只要討論f_n（k）≥1的情形，由1≤b=a-3k≤n-3k，
知f_n（k）=n-3k且，設n-1=3m+r，其中m∈N⁺，r∈{0，1，2}，則k≤m，所以
B_n===mn-=
將m=代入上式，化簡得B_n=
所以B_n=
點評：本題是難題，考查數列通項公式的求法，數列求和的方法，考查發現問題解決問題的能力，解題中注意整除知識的應用，轉化思想的應用．