Question

已知命題p：關于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集為空集∅；命題q：函數f（x）=ax²+ax+1沒有零點，若命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：對于命題p：x²+（a-1）x+1≤0的解集為空集，△=b²-4ac=（a-1）²-4＜0，解得-1＜a＜3；對于命題q：f（x）=ax²+ax+1沒有零點等價于方程ax²+ax+1=0沒有實數根，由此進行分類討論，能求出a的取值范圍．

解答：解：對于命題p：∵x²+（a-1）x+1≤0的解集為空集
∴△=b²-4ac=（a-1）²-4＜0，解得-1＜a＜3（4分）
對于命題q：f（x）=ax²+ax+1沒有零點等價于方程ax²+ax+1=0沒有實數根
①當a=0時，方程無實根符合題意
②當a≠0時，△=a²-4a＜0解得0＜a＜4
∴0≤a＜4（8分）
由命題p∧q為假命題，p∨q為真命題可知，命題p與命題q有且只有一個為真
如圖所示

所以a的取值范圍為（-1，0）∪[3，4）（12分）

點評：本題考查復合命題真假判斷的應用，解題時要注意不等式知識的靈活運用，合理地進行數形結合思想進行解題．