Question

（2013•揭陽一模）已知函數f(x)=

αx

1+xα

(x＞0，α為常數），數列{a_n}滿足：a1=

1

2

，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）當α=1時，求數列{a_n}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，證明對?n∈N*有：a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=

n(n+5)

12(n+2)(n+3)

；
（3）若α=2，且對?n∈N*，有0＜a_n＜1，證明：an+1-an＜

2 +1

8

．

Answer 1

分析：（1）當α=1時，說明數列{

1

an

}是以

1

a1

=2為首項，1為公差的等差數列，然后求數列{a_n}的通項公式；
（2）法一：在（1）的條件下，化簡數列的通項公式，利用裂項法：證明對?n∈N*有：a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=

n(n+5)

12(n+2)(n+3)

；
法二：直接利用數學歸納法的證明步驟證明即可．
（3）法一：通過α=2，化簡a_n+1-a_n的表達式為

1

4

•

1

an+1+ 2 an+1 -2

，利用基本不等式直接證明an+1-an＜

2 +1

8

．
法二：通過an+1=f(an)=

2an

1+ a 2 n

，以及0＜a_n＜1，說明

an+1

an

=

2

1+ a 2 n

＞1，a_n∈[

1

2

，1），n∈N^*，構造函數g(x)=

x-x3

1+x2

，x∈[

1

2

，1)，利用函數的導數，求出函數的最大值即可證明結果．

解答：解：（1）當α=1時，an+1=f(an)=

an

1+an

，兩邊取倒數，得

1

an+1

-

1

an

=1，----（2分）
故數列{

1

an

}是以

1

a1

=2為首項，1為公差的等差數列，

1

an

=n+1，an=

1

n+1

，n∈N*．--------------（4分）
（2）證法1：由（1）知an=

1

n+1

，故對k=1，2，3…akak+1ak+2=

1

(k+1)(k+2)(k+3)

=

1

2

[

1

(k+1)(k+2)

-

1

(k+2)(k+3)

]-------------（6分）
∴a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+…+a_na_n+1a_n+2
=

1

2

[(

1

2×3

-

1

3×4

)+(

1

3×4

-

1

4×5

)+…+

1

(n+1)×(n+2)

-

1

(n+2)(n+3)

]
=

1

2

[

1

2×3

-

1

(n+2)(n+3)

]=

n(n+5)

12(n+2)(n+3)

．------------------------------（9分）．
[證法2：①當n=1時，等式左邊=

1

2×3×4

=

1

24

，
等式右邊=

1×(1+5)

12×(1+2)×(1+3)

=

1

24

，左邊=右邊，等式成立；-------------------------（5分）
②假設當n=k（k≥1）時等式成立，
即a1a2a3+a2a3a4+…+akak+1ak+2=

k(k+5)

12(k+2)(k+3)

，
則當n=k+1時a1a2a3+a2a3a4+…+akak+1ak+2+ak+1ak+2ak+3=

k(k+5)

12(k+2)(k+3)

+

1

(k+2)(k+3)(k+4)

=

k(k+5)(k+4)+12

12(k+2)(k+3)(k+4)

=

k3+9k2+20k+12

12(k+2)(k+3)(k+4)

=

k2(k+1)+4(k+1)(2k+3)

12(k+2)(k+3)(k+4)

=

(k+1)(k+2)(k+6)

12(k+2)(k+3)(k+4)

=

(k+1)[(k+1)+5]

12[(k+1)+2][(k+1)+3]

這就是說當n=k+1時，等式成立，----------------------------------------（8分）
綜①②知對于?n∈N*有：a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=

n(n+5)

12(n+2)(n+3)

．----（9分）]
（3）當α=2時，an+1=f(an)=

2an

1+ a 2 n

則an+1-an=

2an

1+ a 2 n

-an=an(1-an)

1+an

1+ a 2 n

，-------------------（10分）
∵0＜a_n＜1，
∴an+1-an=an(1-an)

1+an

1+ a 2 n

≤(

an+1-an

2

)2•

1+an

1+ a 2 n

--------------------------------（11分）=

1

4

•

1+an

(1+an)2-2(an+1)+2

=

1

4

•

1

an+1+ 2 an+1 -2

≤

1

4

•

1

2 2 -2

=

2 +1

8

．--------------------（13分）
∵a_n=1-a_n與an+1=

2

an+1

不能同時成立，∴上式“=”不成立，
即對?n∈N^*，an+1-an＜

2 +1

8

．-----------------------------------------------------------（14分）
證法二：當α=2時，an+1=f(an)=

2an

1+ a 2 n

，
則an+1-an=

2an

1+ a 2 n

-an=

an- a 3 n

1+ a 2 n

----------------------------------------------------（10分）
又0＜a_n＜1，∴

an+1

an

=

2

1+ a 2 n

＞1，
∴a_n+1＞a_n，∴a_n∈[

1

2

，1），n∈N^*------------------------------------------------（11分）
令g(x)=

x-x3

1+x2

，x∈[

1

2

，1)，則g′(x)=

-x4-4x2+1

(1+x2)2

，--------------------------（12分）
當x∈[

1

2

，1)，g′(x)＜0，所以函數g（x）在[

1

2

，1)單調遞減，故當x∈[

1

2

，1)，g(x)≤

1 2 -( 1 2 )3

1+( 1 2 )2

=

3

10

＜

2 +1

8

，所以命題得證------------------（14分）
所以命題得證-----------------------------------------（14分）

點評：本題考查數列與函數的綜合應用，數學歸納法的證明方法，構造法以及函數的導數求解函數的最大值證明不等式，基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用．