Question

已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F(c,0)．

(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；

(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率．

 

Answer 1

（1）＝1（2）

【解析】(1)∵雙曲線的漸近線為y＝±x，∴a＝b，

∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴雙曲線方程為＝1.

(2)設點A的坐標為(x0，y0)，

∴直線AO的斜率滿足·(－)＝－1，∴x0＝y0.①

依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，

將①代入圓的方程得3 ＋＝c2，即y0＝c，∴x0＝c，

∴點A的坐標為，代入雙曲線方程得

＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②

又∵a2＋b2＝c2，∴將b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，

∴3 4－8 2＋4＝0，

∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝，

∴雙曲線的離心率為.