Question

已知橢圓E：＝1(a＞b＞0)，F₁(－c,0)，F₂(c,0)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)，且|MF₁|，|F₁F₂|，|MF₂|構(gòu)成等差數(shù)列，點(diǎn)F₂(c,0)到直線(xiàn)l：x＝的距離為3.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若存在以原點(diǎn)為圓心的圓，使該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥，求出該圓的方程．

Answer 1

（1）＝1（2）x²＋y²＝

(1)由題知2|F₁F₂|＝|MF₁|＋|MF₂|，
即2×2c＝2a，得a＝2c.
又由－c＝3，解得c＝1，a＝2，b＝.
∴橢圓E的方程為＝1.
(2)假設(shè)以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓滿(mǎn)足條件．
(ⅰ)若圓的切線(xiàn)的斜率存在，并設(shè)其方程為y＝kx＋m，則r＝，r²＝，①
由消去y，整理得(3＋4k²)x²＋8kmx＋4(m²－3)＝0，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，有
又∵⊥，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，
即4(1＋k²)(m²－3)－8k²m²＋3m²＋4k²m²＝0，化簡(jiǎn)得m²＝ (k²＋1)，②
由①②求得r²＝.
所求圓的方程為x²＋y²＝.
(ⅱ)若AB的斜率不存在，設(shè)A(x₁，y₁)，則B(x₁，－y₁)，∵⊥，∴·＝0，有－＝0，＝，代入＝1，得＝.此時(shí)仍有r²＝||＝.
綜上，總存在以原點(diǎn)為圓心的圓x²＋y²＝滿(mǎn)足題設(shè)條件