Question

已知曲線S：y=-

2

3

x3+x2+4x及點P（O，0），則過點P的曲線S的切線方程為

y=4x或y=

35

8

x

．

Answer 1

分析：設出切點坐標，求出函數的導數，通過切線的斜率相等，求出切點坐標，然后求出切線方程，

解答：解：設曲線S：y=-

2

3

x3+x2+4x與過點P（0，0）的切線相切于點A（x₀，-

2

3

x03+x02+4x0），
則切線的斜率 k=y′

|

x=x0

=-2x₀²+2x₀+4，
∴切線方程為y-（-

2

3

x03+x02+4x0）=（-2x₀²+2x₀+4）（x-x₀），
∵點P（0，0）在切線上，
∴

2

3

x03-x02-4x0=2x₀³-2x₀²-4x₀，即

4

3

x₀³-x₀²=0，
解得x₀=0或x₀=

3

4

，所以切線的斜率為：4或

35

8

故所求的切線方程為：y=4x或y=

35

8

x．
故答案為：y=4x或y=

35

8

x．

點評：此題考查學生會利用導數研究曲線上某點的切線方程，是一道綜合題．學生在解決此類問題一定要分清“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”；同時解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點坐標解決．