Question

某種產品的年銷售量y和該年廣告費用支出x有關，現收集了5組觀測數據列于下表：

x/萬元	2	4	5	6	8	參考數據： 5 i=1 x 2 i =145， 5 i=1 y 2 i =13500， 5 i=1 xiyi=1380
y/萬件	30	40	60	50	70

現確定以廣告費用支出x為解釋變量，銷售量y為預報變量對這兩個變量進行統計分析．
參考公式：

?

b

=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

?

a

=

.

y

-

?

b

.

x

，R2=1-

n i=1 (yi- ? y i)2

n i=1 (yi- . y )2

.

x

=

1

n

n

i=1

xi，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi
（Ⅰ）作y和x的散點圖，根據該圖猜想它們之間是什么相關關系．
（Ⅱ）如果是線性相關關系，請用給出的最小二乘法公式求回歸直線方程；否則說明它們之間更趨近于什么非線性相關關系．
（Ⅲ）假如2011年廣告費用支出為10萬元，請根據你得到的模型，預報該年的銷售量y，并用R²的值說明解釋變量對于預報變量變化的貢獻率．

Answer 1

分析：（I）根據所給的對應的數據，寫出對應的點的坐標，在坐標系中找出點的位置，畫出散點圖，根據散點圖可知，它們成線性正相關關系．
（II）分別做出x，y的平均數，利用最小二乘法求出方程的系數b，再根據樣本中心點在直線上做出a，寫出線性回歸方程．
（III）根據所求的線性回歸方程，代入x=10，預報出對應的y的值，做出R²的值，解釋變量對于預報變量變化的貢獻率．

解答：解：（Ⅰ）散點圖

根據散點圖可知，它們成線性正相關關系
（Ⅱ）由數據表知

.

x

=

1

5

(2+4+5+6+8)=5，

.

y

=

1

5

(30+40+60+50+70)=50
有公式得：

?

b

=

5 i=1 xiyi-5 . x . y

5 i=1 x 2 i -5 . x 2

=

1380-5×5×50

145-5×52

=6.5，

?

a

=

.

y

-b

.

x

=50-6.5×5=17.5
因此，回歸直線方程為

?

y

=6.5x+17.5
（Ⅲ）當x=10時，y=6.5×10+17.5=82.5（萬元）
因此，預報該年的銷量大約為82.5萬件．
R2=1-

(-0.5)2+3.52+102+(-6.5)2+0.52

202+102+102+02+202

=0.84473≈0.84
因此，回歸效果較好，廣告費用支出能解釋84%的銷售量的變化．

點評：本題考查做出散點圖，考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法的應用，考查預報對應的y的結果，考查利用R²的值說明解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，本題是一個綜合題目．