Question

一束光線過點M(1-2

2

，-2

2

)射到x軸上，再反射到圓C：（x-1）²+（y+4）²=8上，
（1）當反射光線經過圓心時，求反射光線所在的直線方程的一般式；
（2）求反射點的橫坐標的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：M點關于x軸的對稱點為，由反射光線的反向延長線經過與圓的圓心（1，-4）可得直線的方程．
（2）當反射光線的斜率存在時，設其方程為：kx-y-k+2

2

k+2

2

=0，當反射光線與圓相切時為反射點的最大范圍，由點到直線的距離公式可得k的值，再檢驗斜率不存在時直線也與圓相切，進而得到答案．

解答：解：（1）由題意可得：M點關于x軸的對稱點為M′(1-2

2

，2

2

)，
因為反射光線的反向延長線經過M′(1-2

2

，2

2

)與圓的圓心（1，-4），
所以反射光線所在的直線的方程為：y+4=

2 2 +4

-2 2

(x-1)，整理可得直線的一般式方程為：(1+

2

)x+y+3-

2

=0．
（2）當反射光線的斜率存在時，設其方程為：y-2

2

=k(x-1+2

2

)，
整理可得：kx-y-k+2

2

k+2

2

=0．
由題意可得：當反射光線與圓相切時為反射點的最大范圍，
所以有圓心到反射光線的距離等于半徑，即d=2

2

=

|k+4-k+2 2 k+2 2 |

1+k2

，
解得：k=-1，此時反射光線的方程為x+y-1=0，
所以反射點為（1，0）．
當斜率不存在時，經檢驗也與圓相切，則反射點的橫坐標的取值范圍是[1-2

2

，1]．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握直線與圓的位置關系，以及直線方程的一般式與兩點式，考查點到直線的距離公式等知識點，此題綜合性較強屬于中檔題．