Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數），x∈R，F（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0).

（1）若f（-1）=0，且函數f（x）≥0的對任意x屬于一切實數成立，求F（x）的表達式；
（2）在 （1）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f（-1）=0，可得b與a關系，又對任意實數x均有f（x）≥0成立，根據二次函數的性質，即可得到關于a和b的不等關系，從而求得a和b的值，即可得F（x）的表達式；
（2）由（1）中可得f（x）的解析式，從而求得g（x）的解析式，根據二次函數的性質可知，當對稱軸在區間兩側的時候，函數f（x）為單調函數，可以得到2≤

k-2

2

或

k-2

2

≤-2，求解即可求得實數k的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數），
∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0，即b=a+1，
∵函數f（x）≥0對任意x屬于一切實數恒成立，即ax²+bx+1≥0對x∈R恒成立，
∴

a＞0 △=b2-4a≤0

，
∵b=a+1，
∴

a＞0 (a+1)2-4a=(a-1)2≤0

，
∴a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=

x2+2x+1(x＞0) -x2-2x-1(x＜0)

；
（2）由（1）可知，f（x）=x²+2x+1，
∵g（x）=f（x）-kx，
∴g（x）=x²+（2-k）x+1=(x-

k-2

2

)2+1-

(k-2)2

4

，
∵對稱軸為x=

k-2

2

，函數g（x）的圖象開口向上，
∴g（x）在（-∞，

k-2

2

]上是單調遞減函數，在[

k-2

2

，+∞）上是單調遞增函數，
∵g（x）在x∈[-2，2]時是單調函數，
∴[-2，2]?（-∞，

k-2

2

]或[-2，2]?[

k-2

2

，+∞），
∴2≤

k-2

2

或

k-2

2

≤-2，解得k≥6或k≤-2，
∴實數k的取值范圍為（-∞，-2]∪[6，+∞）．

點評：本題考查了函數單調性的性質，分段函數解析式的求法．本題重點考查了二次函數的性質，對于二次函數要注意數形結合的應用，注意抓住二次函數的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．