Question

（2008•楊浦區二模）（理）已知向量

a

=(x2+1，-x)，

b

=(1，2

n2+1

) （n為正整數），函數f(x)=

a

• 

b

，設f（x）在（0，+∞）上取最小值時的自變量x取值為a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知數列{b_n}，對任意正整數n，都有b_n•（4a_n²-5）=1成立，設S_n為數列{b_n}的前n項和，求

lim

n→∞

Sn；
（3）在點列A₁（1，a₁）、A₂（2，a₂）、A₃（3，a₃）、…、A_n（n，a_n）、…中是否存在兩點A_i，A_j（i，j為正整數）使直線A_iA_j的斜率為1？若存在，則求出所有的數對（i，j）；若不存在，請你寫出理由．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量數量積的坐標公式，代入得f（x）=(x2+1)-2x

n 2+1

是一個關于x二次函數，其圖象是開口向上拋物線，在對稱軸處函數取到最小值，由二次函數對稱軸方程，得到數列{a_n}的通項公式；
（2）根據（1）的結論，將an=

n2+1

代入b_n的表達式，得到bn=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]，用裂項的方法求出其前n項和S_n的表達式，最后可得其極限

lim

n→∞

Sn的值；
（3）對于這類問題，我們可以先假設存在滿足條件的數對（i，j），然后再進行推理可得結論．具體作法：任取A_i、A_j（i、j∈N^*，i≠j），設A_iA_j 所在直線的斜率為k_ij，則 kij=

i+j

i2+1 + j2+1

＜1，從而得到不存在滿足條件的數對（i，j），得出結論．

解答：解：（1）f（x）=(x2+1)-2x

n 2+1

…（2分）
函數y=f（x）的圖象是一條拋物線，拋物線的頂點橫坐標為x=

n2+1

＞0，
開口向上，在（0，+∞） 上，當x=

n2+1

時函數取得最小值，
所以an=

n2+1

；…（4分）
（2）將（1）中{a_n}的表達式代入，得bn=

1

4(n2+1)-5

=

1

4n2-1

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]．…（6分）
∴Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]，…（8分）
所以所求的極限為：

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

；…（10分）
（3）任取A_i、A_j（i、j∈N^*，i≠j），設A_iA_j 所在直線的斜率為k_ij，
則 kij=

ai-aj

i-j

=

i2+1 - j2+1

i-j

=

i2-j2

(i-j)( i2+1 + j2+1)

=

i+j

i2+1 + j2+1

＜1．
因此不存在滿足條件的數對（i，j），使直線A_iA_j的斜率為1．…（16分）

點評：本題綜合了數列與向量、數列與函數以及數列的極限等知識點，是一道難題．對思維的要求較高，考查了轉化化歸和函數與方程的數學思想．