Question

若實數x，y滿足約束條件

x+y-5≤0 2x+y-6≥0 x+2y-6≥0

，則目標函數z=

x2+y2

xy

的最大值與最小值之和為（　�。�

• A、6
• B、

  25

  4

• C、

  15

  2

• D、5

Answer 1

分析：先根據約束條件畫出可行域，設z=

x2+y2

xy

，再利用z的幾何意義求最值，z=

x2+y2

xy

表示的是區域內的點與點P連線的斜率．故 z的最值問題即為直線的斜率的最小值．只需求出直線PQ過可行域內的點A時，從而得到z的最大值列出等式求出a即可．

解答：解：作出可行域如圖陰影部分所示：
目標函數 z=

x2+y2

xy

═

1

y x

+ 

y

x

≥2
當且僅當

y

x

=1時，z最小，最小值為：2．
又其中

y

x

可以認為是原點（0，0）與可行域內一點（x，y）連線OQ的斜率．
其最大值為：4，最小值為：

1

4

，
因此 z=

x2+y2

xy

的最大值為

17

4

，
則目標函數z=

x2+y2

xy

的最大值與最小值之和為2+

17

4

=

25

4

，
故選B．

點評：巧妙識別目標函數的幾何意義是我們研究規劃問題的基礎，縱觀目標函數包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規劃問題的拓展與延伸，使得規劃問題得以深化．本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．