Question

已知函數f(x)＝()^x，
函數y＝f^－1(x)是函數y＝f(x)的反函數．
(1)若函數y＝f^－1(mx²＋mx＋1)的定義域為R，求實數m的取值范圍；
(2)當x∈[－1,1]時，求函數y＝[f(x)]²－2af(x)＋3的最小值g(a)；
(3)是否存在實數m＞n＞3，使得g(x)的定義域為[n，m]，值域為[n²，m²]？若存在，求出m、n的值；若不存在，請說明理由

Answer 1

(1)∵f^－1(x)
＝logx(x＞0)，
∴f^－1(mx²＋mx＋1)
＝log(mx²＋mx＋1)，由題知，mx²＋mx＋1＞0恒成立，
∴①當m＝0時，1＞0滿足題意；
②當m≠0時，
應有
⇒0＜m＜4，
∴實數m的取值范圍為
0≤m＜4.
(2)∵x∈[－1,1]，
∴()^x∈[，3]，
y＝[f(x)]²－2af(x)＋3
＝[()^x]²－2a()^x＋3
＝[()^x－a]²＋3－a²，
當a＜時，
y_min＝g(a)＝－；
當≤a≤3時，
y_min＝g(a)＝3－a²；
當a＞3時，y_min＝g(a)
＝12－6a.
∴g(a)
＝
(3)∵m＞n＞3，且g(x)＝12－6x在(3，＋∞)上是減函數．
又g(x)的定義域為[n，m]，值域為[n²，m²]．
∴
②－①得：6(m－n)＝(m＋n)(m－n)
∵m＞n＞3，∴m＋n＝6.但這與“m＞n＞3”矛盾．
∴滿足題意的m、n不存在．

略