Question

某地區試行高考考試改革：在高三學年中舉行5次統一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠學分升上大學繼續學習，不用參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加5次測試．假設某學生每次通過測試的概率都是

1

3

，每次測試時間間隔恰當，每次測試通過與否互相獨立．
（1）求該學生考上大學的概率．
（2）如果考上大學或參加完5次測試就結束，記該生參加測試的次數為X，求X的分布列及X的數學期望．

Answer 1

分析：（1）記“該生考上大學”的事件為事件A，其對立事件為

.

A

，結合題意得到事件

.

A

的概率，再根據對立事件的概率公式得到答案．
（2）由題意可得：參加測試次數X的可能取值為2，3，4，5，再結合題意分別求出其發生的概率，即可得到X的分布列，進而得到X的數學期望．

解答：解：（1）記“該生考上大學”的事件為事件A，其對立事件為

.

A

，
∴根據題意可得：P(

.

A

)=

C

1 5

(

1

3

)(

2

3

)4+(

2

3

)5，…（2分）
∴P(A)=1-[

C

1 5

•(

1

3

)(

2

3

)4+(

2

3

)5]=

131

243

，…（4分）
∴該學生考上大學的概率為

131

243

．
（2）由題意可得：參加測試次數X的可能取值為2，3，4，5，…（5分），
∴P(X=2)=(

1

3

)2=

1

9

，P(X=3)=

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•

1

3

=

4

27

，P(X=4)=

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

3

=

4

27

，P(X=5)=

C

1 4

•

1

3

•(

2

3

)3+(

2

3

)4=

16

27

．    …（8分）
∴X的分布列為：

X	2	3	4	5
P	1 9	4 27	4 27	16 27

∴X的數學期望為：E(X)=2×

1

9

+3×

4

27

+4×

4

27

+5×

16

27

=

38

9

．  …（9分）
答：該生考上大學的概率為

131

243

；X的數學期望是

38

9

． …（10分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式，以及利用正難則反的解題方法解決問題，本題主要考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望，此類型的題目是個類型考試的命題熱點之一，一般以基礎題或者中檔題的形式出現，只要讀懂題意一般能夠得到全分．