Question

已知函數y＝x＋有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在(0，]上為減函數，在[，＋∞)上是增函數．

(1)如果函數y＝x＋在(0，4]上是減函數．在[4，＋∞)上是增函數，求實常數b的值；

(2)設常數c∈[1，4]，求函數f(x)＝x＋，x∈[1，2]的最大值和最小值；

(3)當n是正整數時，研究函數y(x)＝xⁿ＋(c＞0)的單調性，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由函數y＝x＋的性質知：y＝x＋在[0，2b]上是減函數，在[，＋∞)上是增函數，∴＝4，即2b＝16＝24，∴b＝4． 　　(2)∵c∈[1、4]　∴∈[1、2]． 　　又∵f(x)＝x＋在(0，]上是減函數，在[，＋∞)上是增函數．∴在x∈[1，2]上，當x＝c時，函數取得最小值2．又f(1)＝1＋c，f(2)＝2＋　f(2)－f(1)＝1－． 　　當∈[1，2)時，f(2)－f(1)＞0，f(2)＞f(1) 　　此時f(x)的最大值為f(2)＝2＋． 　　當c＝2時f(2)－f(1)＝0，f(2)＝f(1)． 　　此時f(x)的最大值為f(2)＝f(1)＝3． 　　當x∈(2，4]時，f(2)－f(1)＜0，f(2)＜f(1)，此時f(x)的最大值為f(1)＝1＋c． 　　(3)g′(x)＝nxn－1－ 　　令g′(x)＝0，得x2n＝c，∴x＝±． 　　又∵x≠0，列表分析，如下： 　　于是函數y(x)在(0，]上是減函數，在[，＋∞)上是增函數． 　　當n是正奇數時，g(x)＝xn＋在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函數，于是g(x)在(－∞，－]上是增函數，在[－，0]上是減函數； 　　當n是正偶數時，g(x)＝xn＋在(－∞，0)∪(0，＋∞)是偶函數，于是g(x)在(－∞，－]上是減函數，在[－，0]上是增函數． 　　思路分析：本題設計新穎，層層遞進，是演繹推理的典型應用．要正確理解題意根據已有的事實和正確的結論，按照嚴格的邏輯法進行證明，推理，尋找題目中的大前提和小前提．