Question

已知數列{a_n}，{b_n}分別為等比，等差數列，數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₃，S₂，S₄成等差數列，a₁+a₂+a₃=3，數列{b_n}中，b₁=a₁，b₆=a₅，
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若數列{a_nb_n}的前n項和為T_n，求滿足不等式T_n+2014≤0的最小正整數n．

Answer 1

分析：（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法求數列{{a_nb_n}的前n項和為T_n；然后解不等式即可．

解答：解：（1）S₃，S₂，S₄成等差數列⇒2S₂=S₃+S₄
①若q=1，4a₁=3a₁+4a₁⇒a₁=0（不可能，舍去）
②q≠1，2

a1(1-q2)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q4)

1-q

⇒q2+q-2=0⇒q=-2，
a₁+a₂+a₃=3，解得a₁=1，
∴an=(-2)n-1．
∵b₁=1，b₆=a₅=（-2）⁴=16=1+5d，
∴d=3，
∴b_n=3n-2．
（2）Tn=(-2)0•1+(-2)1•4+…+(-2)n-1•(3n-2)，①
(-2)Tn=(-2)1?1+(-2)2?4+???+(-2)n?(3n-2)    ②
①-②得
3Tn=1+(-2)1?3+(-2)2?3+???+(-2)n-1?3-(-2)n?(3n-2)．
即3Tn=1+3?

[1-(-2)n-1]

1-(-2)

-(-2)n?(3n-2)=1+1-（-2）^n-1-（-2）ⁿ?（3n-2）=-[1+（-2）ⁿ?（3n-1）]，
∴Tn=-

1+(-2)n?(3n-1)

3

．
由T_n+2014≤0得-

1+(-2)n?(3n-1)

3

+2014≤0，
解得n≥10．

點評：本題主要考查等比數列的通項公式以及利用錯誤相減法求數列的和，考查學生的運算能力．