Question

已知函數，其中為常數.
（Ⅰ）若函數是區間上的增函數，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）若在時恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）函數是區間上的增函數，所以在上恒成立。故應先求導，再求導函數的最小值使其大于等于。（Ⅱ）在時恒成立即在上恒成立，故應去求函數的最小值。應先求導，令導數等于0得，討論導數的正負，得函數的單調區間。在討論極值點與0和2的大小得函數在上的單調性，根據單調性求函數在的最小值。
試題解析：（Ⅰ）,.                          2分
因為函數是區間上的增函數，
所以，即在上恒成立.          3分
因為是增函數，
所以滿足題意只需，即.                5分
（Ⅱ）令，解得                            6分
的情況如下：
 
①當，即時，在上的最小值為，
若滿足題意只需，解得，
所以此時，；                                11分
②當，即時，在上的最小值為，
若滿足題意只需，求解可得此不等式無解，
所以不存在；                                       12分
③當，即時，在上的最小值為,
若滿足題意只需，解得,
所以此時，不存在.                                 13分
綜上討論，所求實數的取值范圍為.
考點：考查導數和利用導數研究函數性質的方法的數學思想，意在考查考生靈活應用導數分析、解決問題的能力，考查考生的邏輯思維能力、運算能力和創新應用能力。