Question

己知函數f(x)=

2x-1

2x+1

，
（Ⅰ）證明函數f（x）是R上的增函數；
（Ⅱ）求函數f（x）的值域．
（Ⅲ）令g(x)=

x2

2f(x)

．判定函數g（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對函數作適當變形，再利用定義證明，先在定義域上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，與零比較，由定義得到結論．
（Ⅱ）利用有界法求解，將函數看作方程，解得 2x=

1+y

1-y

，再由2^x＞0，解得y的范圍，即為所求．
（Ⅲ）求出函數g（x）的定義域，利用函數奇偶性的定義加以判斷即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）設x，x是R內任意兩個值，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0
y₂-y₁=f（x₂）-f（x₁）=

2x2-1

2x2+1

-

2x1-1

2x1+1

=

2•2x2-2•2x1

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

當x₁＜x₂時，2x1＜2x2
∴2x2-2x1＞0．又2x1+1＞0，2x1+1＞0
∴y₂-y₁＞0
∴f（x）是R上的增函數．
（Ⅱ）：（1）∵2x=

1+y

1-y

，又2^x＞0，
∴-1＜y＜1
函數f（x）的值域為（-1，1）；
（Ⅲ）由題意知g（x）=

x2

2

•

2x+1

2x-1

易知函數g（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
g（-x）=

(-x)2

2

•

2-x+1

2-x-1

=

x2

2

•

1+2x

1-2x

=-

x2

2

•

2x+1

2x-1

=-g（x）
∴函數g（x）為奇函數．

點評：本題主要考查函數奇偶性、值域的求法和單調性的證明，值域常見方法有單調性法，基本函數法，有界性法，判別式法等，證明單調性一般有定義法，導數法，考查運算能力以及分析問題解決問題的能力．屬中檔題．