Question

已知f（x）=2^x可以表示成一個奇函數g（x）與一個偶函數h（x）之和，若關于x的不等式ag（x）+h（2x）≥0對于x∈[1，2]恒成立，則實數a的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由題意可得g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②從而可得h（x）=

1

2

(2x +2-x)，g（x）=

1

2

(2x -2-x)
而ag（x）+h（2x）≥0對于x∈[1，2]恒成立即a≥ -

h(2x)

g(x)

對于x∈[1，2]恒成立即a≥-

4x+4-x

2x-2-x

=-(2x-2-x)+(2-x-2x)對于x∈[1，2]恒成立，只要求出函數-

h(2x)

g(x)

的最大值即可

解答：解：f（x）=2^x可以表示成一個奇函數g（x）與一個偶函數h（x）之和
∴g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②
①②聯立可得，h（x）=

1

2

(2x +2-x)，g（x）=

1

2

(2x -2-x)
ag（x）+h（2x）≥0對于x∈[1，2]恒成立
a≥ -

h(2x)

g(x)

對于x∈[1，2]恒成立
a≥-

4x+4-x

2x-2-x

=-(2x-2-x)+(2-x-2x)對于x∈[1，2]恒成立
t=2^x-2^-x，x∈[1，2]，t∈[

3

2

，

15

4

]則t+

2

t

在t∈[

3

2

，

15

4

]單調遞增，
t=

3

2

時，則t+

2

t

=

17

6

a≥-

17

6

故答案為：-

17

6

點評：本題主要考查了奇偶函數的定義的應用，函數的恒成立的問題，常會轉化為求函數的最值問題，體現了轉化思想的應用．