Question

設a＞0，已知函數 f(x)=

alnx

x

，討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析：先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，
f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．

解答：解：∵函數 f(x)=

alnx

x

（x＞0），
∴f′（x）=

a(1-lnx)

x2

∵a＞0，所以判斷1-lnx的符號，
當0＜x＜e時，f′（x）＞0，為增函數，
當x＞e時，f′（x）＜0，為減函數，
∴x=e為f（x）的極大值，
∴f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）為減函數．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．屬于基礎題．