Question

（2012•湖北）設A是單位圓x²+y²=1上的任意一點，i是過點A與x軸垂直的直線，D是直線i與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求焦點坐標；
（Ⅱ）過原點且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m，使得對任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設M（x，y），A（x₀，y₀），根據丨DM丨=m丨DA丨，確定坐標之間的關系x₀=x，|y₀|=

1

m

|y|，利用點A在圓上運動即得所求曲線C的方程；根據m∈（0，1）∪（1，+∞），分類討論，可確定焦點坐標；
（Ⅱ）?x₁∈（0，1），設P（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則Q（-x₁，-y₁），N（0，y₁），利用P，H兩點在橢圓C上，可得

m2x12+y12=m2① m2x22+y22=m2②

，從而可得可得

(y1-y2)(y1+y2)

(x1-x2)(x1+x2)

=-m2．利用Q，N，H三點共線，及PQ⊥PH，即可求得結論．

解答：解：（I）如圖1，設M（x，y），A（x₀，y₀）
∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x₀，|y|=m|y₀|
∴x₀=x，|y₀|=

1

m

|y|①
∵點A在圓上運動，∴x02+y02=1②
①代入②即得所求曲線C的方程為x2+

y2

m2

=1(m＞0，m≠1)
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1時，曲線C是焦點在x軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為（-

1-m2

，0），(

1-m2

，0)
m＞1時，曲線C是焦點在y軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為（0，-

m2-1

），(0，

m2-1

)
（Ⅱ）如圖2、3，?x₁∈（0，1），設P（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則Q（-x₁，-y₁），N（0，y₁），
∵P，H兩點在橢圓C上，∴

m2x12+y12=m2① m2x22+y22=m2②

①-②可得

(y1-y2)(y1+y2)

(x1-x2)(x1+x2)

=-m2③
∵Q，N，H三點共線，∴k_QN=k_QH，∴

2y1

x1

=

y1+y2

x1+x2

∴k_PQ•k_PH=

y1(y1-y2)

x1(x1-x2)

=-

m2

2

∵PQ⊥PH，∴k_PQ•k_PH=-1
∴-

m2

2

= -1
∵m＞0，∴m=

2

故存在m=

2

，使得在其對應的橢圓x2+

y2

2

=1上，對任意k＞0，都有PQ⊥PH

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查代入法求軌跡方程，計算要小心．